ニュートンの古典力学　運動の第２法則「運動方程式」とは何か？ : サイエンスジャーナル

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ニュートン力学とは、アイザック・ニュートンが創始した一連の物理法則を指す。物体の運動と力の関係を明確に数学として表現する力学の一分野である。1687年に、著書『自然哲学の数学的諸原理』（プリンキピア）で発表された。

ニュートンは石ころから天体の運動までを説明する運動の哲学を発見し、それをプリンキピア "Principia" に記した。ガリレオや、ティコ・ブラーエ、ケプラーなどにより定量的に発見・研究されてきた物理を、ニュートンが数学的記述を以ってまとめたものとする歴史研究者もいるようである。当時、数学といえば幾何学であり、プリンキピアでは現代において用いられている数式ではなく、すべて作図による説明がなされている。

身の回りの運動のすべてを説明できる？という驚きは私も学生持代のころ感じた。そんな基本的原理を今から、300年以上も前から発見したというのはすごいことである。ニュートンはやはり天才だ。身の回りの石ころから、ロケットの軌道、探査機を正確に火星に飛ばしたり、天体の運動を正確に計算して求めてしまうなど現代でもニュートン力学が使われている。

しかし、ニュートン力学が万能でないことはご存じだろうか？すべての運動がニュートン力学に当てはまるわけではない。例えば運動の第２法則

運動方程式　Ｆ＝ｍａ　（Ｆは力、ｍは質量、ａは加速度）

この方程式では力が質量と加速度の積に等しいことを示している。力がはたらくと物体の速度が変わるのである。しかし、この方程式は近似的にしか成り立たない。

実際、相対性理論より物体の速度は光速を越える事はできないが、この方程式は一定の力をかけ続ければいつかは光速を越えてしまう事を意味する。したがってニュートンの運動方程式を適用できる範囲は物体の速度が光速に比べて十分に小さいときのみである。

速度が光速に近い場合には、相対性理論の運動方程式を適用する。また、相対性理論では「Ｅ＝ｍｃ2」という公式が出てくるが、これも同じ理由で、すべての場合にあてはまるわけではない。ある場合の近似値に過ぎない。

アインシュタインにしてもニュートンにしても、天才は公式がお好きなようだ。我々はそれを鵜呑みにしないようにしたい。

ニュートンの運動の第２法則「運動方程式」とは？

運動方程式（Equation of motion）は、物体の運動を記述、決定するための（微分）方程式。物体は、質点であったり、原子、分子（或いは他の素粒子）、より巨視的な運動をする対象、物体など様々である。

運動する対象や条件によって、異なった運動方程式が採用される。

一例として、古典力学における一質点の運動を記述する運動方程式（ニュートンの運動方程式）は、Ｆ＝ｍａとなる（運動の第2法則）。m は質点の質量、a は質点の加速度、F は質点にかかる力。

この方程式では力が質量と加速度の積に等しいことを示している。しかし後にこの方程式は近似的にしか成り立たない事が分かった。

実際、相対性理論より物体の速度は光速を越える事はできないが、この方程式は一定の力をかけ続ければいつかは光速を越えてしまう事を意味する。したがってニュートンの運動方程式を適用できる範囲は物体の速度が光速に比べて十分に小さいときのみである。

とはいっても、我々が日常で会う物体のほとんどは秒速100kmにも満たない速度で運動している（光は秒速約30万km）ので、この式に数値をあてはめて計算しても全く問題がないほど小さな誤差しか生じない。いっぽう物体の速度が光速に近い場合には相対性理論の運動方程式を適用しなければならない。（出典：Wikipedia）